De stelling van Bayes is waarschijnlijk het belangrijkste dat een rationeel persoon kan leren. Zoveel van onze debatten en meningsverschillen waar we over schreeuwen, zijn omdat we de stelling van Bayes of hoe menselijke rationaliteit vaak werkt, niet begrijpen. De stelling van Bayes is vernoemd naar de 18e-eeuwse Thomas Bayes, en in wezen is het een formule die vraagt: wanneer je wordt geconfronteerd met al het bewijs voor iets, hoeveel zou je het dan moeten geloven? De stelling van Bayes leert ons dat onze overtuigingen niet vaststaand zijn; ze zijn waarschijnlijkheden. Onze overtuigingen veranderen naarmate we nieuw bewijs afwegen tegen onze aannames, of onze priors. Met andere woorden, we hebben allemaal bepaalde ideeën over hoe de wereld werkt, en nieuw bewijs kan deze uitdagen. Bijvoorbeeld, iemand kan geloven dat roken veilig is, dat stress mondzweren veroorzaakt, of dat menselijke activiteit niets te maken heeft met klimaatverandering. Dit zijn hun priors, hun startpunten. Ze kunnen gevormd worden door onze cultuur, onze vooroordelen, of zelfs onvolledige informatie. Stel je nu voor dat er een nieuwe studie komt die een van je priors uitdaagt. Een enkele studie heeft misschien niet genoeg gewicht om je bestaande overtuigingen omver te werpen. Maar naarmate studies zich opstapelen, kunnen de schalen uiteindelijk kantelen. Op een gegeven moment zal je prior steeds minder plausibel worden. De stelling van Bayes stelt dat rationeel zijn niet gaat om zwart-wit. Het gaat zelfs niet om waar of onwaar. Het gaat om wat het meest redelijk is op basis van het beste beschikbare bewijs. Maar om dit te laten werken, moeten we worden geconfronteerd met zoveel mogelijk hoogwaardige gegevens. Zonder bewijs—zonder gegevens die overtuigingen vormen—blijven we alleen met onze priors en vooroordelen. En die zijn niet zo rationeel.

Aan het begin van de 18e eeuw explodeerde de wiskunde met nieuwe ideeën. De calculus was net uitgevonden. Guillaume de l’Hôpital was een rijke Franse edelman die gepassioneerd was door wiskunde, maar niet bepaald een genie. Hij huurde een van de slimste jonge wiskundigen van die tijd, Johann Bernoulli, in als persoonlijke tutor. Bernoulli was zo getalenteerd dat L’Hôpital hem een ongelooflijk aanbod deed: een jaarsalaris van 300 francs in ruil voor elke nieuwe ontdekking die hij deed. Ja, L’Hôpital kocht stellingen. Telkens wanneer Bernoulli iets nieuws vond, stuurde hij het naar zijn werkgever. In 1696 publiceerde L’Hôpital het eerste calculus handboek, Analyse des Infiniment Petits. Het introduceerde de beroemde regel van L’Hôpital, hoe om te gaan met onbepaalde limieten zoals 0/0. Maar hier is de wending: de regel, en een groot deel van het boek, waren eigenlijk geschreven door Bernoulli. Na de dood van L’Hôpital onthulde Bernoulli de waarheid en toonde de brieven aan die de afspraak bewezen. Toch bleef de naam van L’Hôpital aan de regel verbonden—een herinnering dat soms in de wetenschap, geld roem koopt. Vandaag de dag leert elke calculusstudent de regel van L’Hôpital, zelfs als de echte auteur Johann Bernoulli was.

George Pólya vertelt een verhaal over zijn voormalige student John von Neumann: "Hij is de enige student van mij waar ik ooit door geïntimideerd was. Hij was zo snel. Er was een seminar voor gevorderde studenten in Zürich dat ik gaf, en von Neumann zat in de klas. Ik kwam bij een bepaald stelling en zei dat deze niet bewezen was en moeilijk kon zijn. Von Neumann zei niets. Maar na vijf minuten stak hij zijn hand op. Toen ik hem het woord gaf, ging hij naar het bord en begon hij de bewijsvoering op te schrijven. Daarna was ik bang voor von Neumann."