1772年，伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发现了一些美丽而令人惊讶的东西。 他发现这个简单的公式 f(x) = x² + x + 41 一次又一次地产生素数。 如果你从x = 0开始输入整数到39，每个答案都是一个素数。 想象一下欧拉的兴奋——一个整洁的小公式像魔法一样不断给出素数。 但随后失望来了。 当x = 40时，魔法破灭了。结果不再是素数——它是一个合成数。魔法并不会永远持续。 尽管如此，这个公式仍然很了不起。即使对于x = 40到79的值，它也产生了33个素数。 对于这样一个简单的表达式来说，这个成功率令人印象深刻。 数学家们后来寻找更好的公式。一个强大的例子是： 2x² − 199 对于前1000个x值，这个公式产生了598个素数——比迄今为止发现的任何其他二次公式都要多。 这些公式并不会创造出无尽的素数流。但它们揭示了一些迷人的东西：数字内部的隐藏模式。 有时，仅凭一支铅笔和一个聪明的想法，数学几乎感觉像是魔法。

贝叶斯定理可能是任何理性人可以学习的最重要的东西。 我们大声争论的许多辩论和分歧都是因为我们不理解贝叶斯定理或人类理性通常是如何运作的。 贝叶斯定理以18世纪的托马斯·贝叶斯命名，基本上它是一个公式，问的是：当你面临所有证据时，你应该相信多少？ 贝叶斯定理教会我们，我们的信念不是固定的；它们是概率。我们的信念会随着我们对新证据与假设或先验的权衡而改变。换句话说，我们都对世界的运作有某种想法，而新证据可以挑战这些想法。 例如，有人可能相信吸烟是安全的，压力会导致口腔溃疡，或者人类活动与气候变化无关。这些是他们的先验，他们的起点。它们可能是由我们的文化、偏见或甚至不完整的信息形成的。 现在想象一下，一项新的研究挑战了你的某个先验。一项单独的研究可能没有足够的分量来推翻你现有的信念。但随着研究的积累，最终天平可能会倾斜。在某个时刻，你的先验将变得越来越不可信。 贝叶斯定理认为，理性并不是黑与白的问题。甚至不是关于真或假的问题。它是关于基于最佳可用证据的最合理的东西。但为了使这一切有效，我们需要尽可能多地提供高质量的数据。没有证据——没有形成信念的数据——我们只能依赖我们的先验和偏见。而这些并不完全理性。

在18世纪初，数学正以新的思想蓬勃发展。 微积分刚刚被发明。 吉约姆·德·洛皮塔尔是一位富有的法国贵族，对数学充满热情，但并不算天才。 他雇佣了当时最聪明的年轻数学家之一，约翰·伯努利，作为私人导师。伯努利才华横溢，以至于洛皮塔尔给了他一个令人难以置信的提议：每年300法郎的薪水，作为他每次新发现的回报。 没错，洛皮塔尔买下了定理。每当伯努利发现新东西时，他都会把它发送给他的雇主。 1696年，洛皮塔尔出版了第一本微积分教科书《无穷小分析》。 它介绍了著名的洛皮塔尔法则，如何处理像0/0这样的不确定极限。 但这里有个转折：这个法则，以及书中的大部分内容，实际上是由伯努利撰写的。在洛皮塔尔去世后，伯努利揭示了真相，并展示了证明这一安排的信件。 尽管如此，洛皮塔尔的名字仍然与这个法则紧密相连——这提醒我们，有时候在科学界，金钱能买到名声。 今天，每个微积分学生都学习洛皮塔尔法则，即使真正的作者是约翰·伯努利。