Bayes sats är förmodligen det enskilt viktigaste som en rationell person kan lära sig. Så många av våra debatter och meningsskiljaktigheter som vi skriker om beror på att vi inte förstår Bayes sats eller hur mänsklig rationalitet ofta fungerar. Bayes sats är uppkallad efter 1700-talets Thomas Bayes, och i grunden är det en formel som frågar: när du får all bevisning för något, hur mycket bör du tro på det? Bayes sats lär oss att våra övertygelser inte är fasta; de är sannolikheter. Våra övertygelser förändras när vi väger nya bevis mot våra antaganden eller våra förkunskaper. Med andra ord bär vi alla på vissa idéer om hur världen fungerar, och nya bevis kan utmana dem. Till exempel kan någon tro att rökning är säkert, att stress orsakar munsår eller att mänsklig aktivitet inte har något med klimatförändringar att göra. Detta är deras priorer, deras utgångspunkter. De kan formas av vår kultur, våra fördomar eller till och med ofullständig information. Föreställ dig nu att en ny studie dyker upp som utmanar en av dina tidigare ansökningar. En enskild studie kanske inte väger tillräckligt tungt för att omkullkasta dina befintliga övertygelser. Men när studier ackumuleras kan vågskålen till slut tippa. Vid någon tidpunkt kommer din tidigare situation att bli mindre och mindre trovärdig. Bayes sats hävdar att rationellt inte handlar om svart och vitt. Det handlar inte ens om sant eller falskt. Det handlar om vad som är mest rimligt baserat på bästa tillgängliga bevis. Men för att detta ska fungera behöver vi få så mycket högkvalitativ data som möjligt. Utan bevis—utan trosbildande data—återstår vi bara med våra tidigare erfarenheter och fördomar. Och de är inte särskilt rationella.

Vid sekelskiftet 1700-talet exploderade matematiken med nya idéer. Kalkyl hade precis uppfunnits. Guillaume de l'Hôpital var en förmögen fransk adelsman passionerad för matematik, men inte direkt ett geni. Han anställde en av tidens lysande unga matematiker, Johann Bernoulli, som personlig handledare. Bernoulli var så begåvad att L'Hôpital gav honom ett otroligt erbjudande: en årslön på 300 franc i utbyte mot varje ny upptäckt han gjorde. Ja, L'Hôpital köpte satser. När Bernoulli hittade något nytt skickade han det till sin arbetsgivare. År 1696 publicerade L'Hôpital den första läroboken i kalkyl, Analyse des Infiniment Petits. Den introducerade den berömda L'Hôpitals regel, hur man hanterar obestämda gränser som 0/0. Men här är twisten: regeln, och mycket av boken, skrevs faktiskt av Bernoulli. Efter L'Hôpitals död avslöjade Bernoulli sanningen och visade breven som bevisade arrangemanget. Ändå förblev L'Hôpitals namn kopplat till regeln—en påminnelse om att ibland inom vetenskapen köper pengar berömmelse. Idag lär sig varje kalkylstudent L'Hôpitals regel, även om den verklige författaren var Johann Bernoulli.

George Pólya berättar en historia om sin tidigare student John von Neumann: "Han är den enda elev jag någonsin blev skrämd av. Han var så snabb. Det fanns ett seminarium för avancerade studenter i Zürich som jag undervisade i, och von Neumann var med i klassen. Jag kom fram till en viss sats och sa att den inte var bevisad och kunde vara svår. Von Neumann sa ingenting. Men efter fem minuter räckte han upp handen. När jag kallade på honom gick han till tavlan och började skriva ner korrekturet. Efter det var jag rädd för von Neumann."