Định lý Bayes có lẽ là điều quan trọng nhất mà bất kỳ người lý trí nào cũng có thể học. Rất nhiều cuộc tranh luận và bất đồng mà chúng ta la hét về đều xuất phát từ việc chúng ta không hiểu định lý Bayes hoặc cách mà lý trí con người thường hoạt động. Định lý Bayes được đặt theo tên của Thomas Bayes, người sống vào thế kỷ 18, và về cơ bản, đó là một công thức hỏi: khi bạn được trình bày tất cả các bằng chứng cho một điều gì đó, bạn nên tin tưởng nó đến mức nào? Định lý Bayes dạy chúng ta rằng niềm tin của chúng ta không phải là cố định; chúng là xác suất. Niềm tin của chúng ta thay đổi khi chúng ta cân nhắc bằng chứng mới so với những giả định của chúng ta, hay còn gọi là các priors. Nói cách khác, tất cả chúng ta đều mang theo những ý tưởng nhất định về cách thế giới hoạt động, và bằng chứng mới có thể thách thức chúng. Ví dụ, ai đó có thể tin rằng hút thuốc là an toàn, rằng căng thẳng gây ra loét miệng, hoặc rằng hoạt động của con người không liên quan đến biến đổi khí hậu. Đây là các priors của họ, điểm khởi đầu của họ. Chúng có thể được hình thành bởi văn hóa của chúng ta, những định kiến của chúng ta, hoặc thậm chí là thông tin không đầy đủ. Bây giờ hãy tưởng tượng một nghiên cứu mới xuất hiện thách thức một trong những priors của bạn. Một nghiên cứu đơn lẻ có thể không đủ sức nặng để lật đổ những niềm tin hiện tại của bạn. Nhưng khi các nghiên cứu tích lũy, cuối cùng cán cân có thể nghiêng. Vào một thời điểm nào đó, prior của bạn sẽ trở nên ít khả thi hơn. Định lý Bayes lập luận rằng việc trở nên lý trí không phải là về trắng và đen. Nó thậm chí không phải là về đúng hay sai. Nó là về điều gì là hợp lý nhất dựa trên bằng chứng tốt nhất có sẵn. Nhưng để điều này hoạt động, chúng ta cần được trình bày với càng nhiều dữ liệu chất lượng cao càng tốt. Nếu không có bằng chứng—không có dữ liệu hình thành niềm tin—chúng ta chỉ còn lại các priors và định kiến của mình. Và những điều đó không hoàn toàn là lý trí.

Vào cuối thế kỷ 18, toán học đang bùng nổ với những ý tưởng mới. Giải tích vừa mới được phát minh. Guillaume de l’Hôpital là một quý tộc Pháp giàu có đam mê toán học, nhưng không hẳn là một thiên tài. Ông đã thuê một trong những nhà toán học trẻ sáng giá nhất thời bấy giờ, Johann Bernoulli, làm gia sư cá nhân. Bernoulli tài năng đến nỗi L’Hôpital đã đưa ra một đề nghị tuyệt vời: một mức lương hàng năm là 300 franc đổi lấy mỗi phát hiện mới mà ông ấy tạo ra. Đúng vậy, L’Hôpital đã mua các định lý. Mỗi khi Bernoulli tìm ra điều gì mới, ông gửi nó cho ông chủ của mình. Năm 1696, L’Hôpital đã xuất bản cuốn sách giáo khoa giải tích đầu tiên, Analyse des Infiniment Petits. Cuốn sách đã giới thiệu Quy tắc L’Hôpital nổi tiếng, cách xử lý các giới hạn không xác định như 0/0. Nhưng đây là một điều thú vị: quy tắc, và phần lớn cuốn sách, thực sự được viết bởi Bernoulli. Sau khi L’Hôpital qua đời, Bernoulli đã tiết lộ sự thật và cho thấy những bức thư chứng minh thỏa thuận này. Dù vậy, tên của L’Hôpital vẫn gắn liền với quy tắc—một lời nhắc nhở rằng đôi khi trong khoa học, tiền bạc mua danh tiếng. Ngày nay, mọi sinh viên giải tích đều học Quy tắc L’Hôpital, ngay cả khi tác giả thực sự là Johann Bernoulli.

George Pólya kể một câu chuyện về cựu sinh viên của ông, John von Neumann: "Ông ấy là sinh viên duy nhất mà tôi từng cảm thấy bị áp lực. Ông ấy nhanh nhẹn đến mức nào. Có một buổi hội thảo cho sinh viên nâng cao ở Zürich mà tôi đang giảng dạy, và von Neumann có mặt trong lớp. Tôi đã đến một định lý nhất định và nói rằng nó chưa được chứng minh và có thể sẽ khó khăn. Von Neumann không nói gì. Nhưng sau năm phút, ông ấy giơ tay. Khi tôi gọi tên ông ấy, ông ấy đã đến bảng và bắt đầu viết ra chứng minh. Sau đó, tôi đã sợ von Neumann."